Formulaire mathématique
Propriétés de la fonction logarithme
\(\ln \ a+\ln \ b=\ln \ \left( a \cdot b \right)\) a,b > 0 et sans dimension
\(\ln \ a-\ln \ b=\ln \ \left( \frac{a}{b} \right)\)
\(a\cdot \ln \ b=\ln \ \left( {{b}^{a}} \right)\)
\(\exp \ \left( \ln \ a \right)=a\)
Définition : Factoriel
\(n!=n\cdot \left( n-1 \right)\cdot \left( n-2 \right)\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)
Développements limités courants
pour x → 0
\(\exp \ \left( x \right)=1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}...\)
\(\ln \ \left( x+1 \right)=x-\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{4}...\)
\(\frac{1}{1+x}=1-x+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}+...\)
Rappel : Solution(s) d'une équation du second degré
L'équation \(a\cdot {{x}^{2}}+b\cdot x+c=0\) admet : - 2 solutions réelles si Δ > 0 : \({{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}\) et \({{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\cdot a}\)
- 1 solution réelle si Δ = 0 : \({{x}_{0}}=\frac{-b}{2\cdot a}\)
- aucune solution réelle si Δ < 0
où \(\Delta ={{b}^{2}}-4\cdot a\cdot c\)
Lorsqu'elle admet 2 solutions réelles, on a : \(a\cdot {{x}^{2}}+b\cdot x+c=a\cdot \left( x-{{x}_{1}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{2}} \right)\).
Décomposition en éléments simples
La décomposition en éléments simples est une technique qui permet de séparer une fraction en une somme de fractions, par exemple en vue d'une intégration plus aisée.
Méthode : Pour effectuer une décomposition en éléments simples :
décomposition de la fraction de gauche (multiplication au dénominateur) en deux fractions distinctes dont les valeurs au numérateur ne sont pas connues et sont notées \(\alpha\) et \(\beta\) :
\(\frac{e+f \cdot x}{\left(a+b \cdot x\right) \cdot (c+d \cdot x)}=\ \frac{\alpha }{a+b \cdot x}+\ \frac{\beta }{c+d \cdot x}\)
regroupement des deux fractions distinctes pour reformer une structure similaire à la fraction de départ :
\(\frac{\alpha }{a+b \cdot x}+\ \frac{\beta }{c+d \cdot x}=\frac{\alpha }{a+b \cdot x} \cdot \frac{c+d \cdot x}{c+d \cdot x} + \frac{\beta }{c+d \cdot x} \cdot \frac{a+b \cdot x}{a+b \cdot x}\)
\(\frac{\alpha }{a+b \cdot x}+\ \frac{\beta }{c+d \cdot x}=\frac{\alpha \cdot (c+d \cdot x)}{(a+b \cdot x) \cdot (c+d \cdot x)}+\ \frac{\beta \cdot (a+b \cdot x)}{(a+b \cdot x) \cdot (c+d \cdot x)}\)
\(\frac{\alpha }{a+b \cdot x}+\ \frac{\beta }{c+d \cdot x}=\frac{\alpha \cdot (c+d \cdot x)+\beta \cdot (a+b \cdot x)}{(a+b \cdot x) \cdot (c+d \cdot x)}\)
développement du numérateur :
\(\frac{\alpha }{{a + b \cdot x}} + \frac{\beta }{c + d \cdot x} = \frac{{\alpha \cdot c + \alpha \cdot d \cdot x + \beta \cdot a + \beta \cdot b \cdot x}}{(a + b \cdot x) \cdot (c + d \cdot x)}\)
regroupement des termes en x et des autres termes :
\(\frac{\alpha }{a+b \cdot x}+\ \frac{\beta }{c+d \cdot x}=\frac{\left(\alpha \cdot d+\beta \cdot b\right) \cdot x+(\beta \cdot a+\alpha \cdot c)}{(a+b \cdot x) \cdot (c+dx)}\)
identification :
Termes en \(x\) : \(f \cdot x = \left( {\alpha \cdot d + \beta \cdot b} \right) \cdot x\) donc \(f = \alpha \cdot d + \beta \cdot b\)
Autres termes : \(e = \beta \cdot a + \alpha \cdot c\)
résolution :
Détermination de \(\beta\) en fonction de \(\alpha\) : \(\beta = \frac{e - \alpha \cdot c}{a}\)
Remplacement de \(\beta\) dans la première expression, puis détermination de \(\alpha\) :
\(f = \alpha \cdot d + \beta \cdot b = \alpha \cdot d + \frac{e - \alpha \cdot c}{a} \cdot b\)
D'où : \(\alpha = \frac{f \cdot a - e \cdot b}{a \cdot d - c \cdot b}\) et donc \(\beta = \frac{e}{a} - \left( \frac{f \cdot a - e \cdot b}{a \cdot d - c \cdot b} \right) \cdot \frac{c}{a}\)
Identité remarquable (une version élémentaire de décomposition en éléments simples)
\(\frac{1}{\left( x-a \right)\cdot \left( x-b \right)}=\frac{1}{a-b} \cdot \left[ \frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-b} \right]\)
Exemple : Exercez-vous...
fraction | solution |
|---|---|
\(\frac{1}{{\left( {X + 1} \right) \cdot \left( {X - 2} \right)}}\) | \(\frac{{ - 1}}{3} \cdot \frac{1}{{\left( {X + 1} \right)}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\left( {X - 2} \right)}}\) |
\(\frac{X}{{\left( {X + 1} \right) \cdot \left( {X - 2} \right)}}\) | \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\left( {X + 1} \right)}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{\left( {X - 2} \right)}}\) |
\(\frac{1}{{\left( {1 - X} \right) \cdot \left( {S + X} \right)}}\) | \(\frac{1}{{\left( {1 + S} \right)}} \cdot \left[ {\frac{1}{{\left( {1 - X} \right)}} + \frac{1}{{\left( {S + X} \right)}}} \right]\) |
\(\frac{1}{{\left( {1 - X} \right) \cdot X}}\) | \(\frac{1}{1 - X} + \frac{1}{X}\) |
Dérivation et intégration
Rappel : Dérivées usuelles
\({{\left( \frac{1}{f} \right)}^{'}}=-\frac{f'}{{{f}^{2}}}\)
\({{\left( u\cdot v \right)}^{'}}=u'\cdot v+u\cdot v'\)
\({{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{{{v}^{2}}}\)
Intégrales usuelles
\(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{f(x)\cdot dx}=F({{x}_{2}})-F({{x}_{1}})\) où F est la primitive de la fonction f
\(\int{{{x}^{n}}\cdot dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+constante\) n étant un entier ≠ -1
\(\int{\frac{dx}{x}=\ln \ x}+constante\) x étant > 0
\(\int{\exp \ \left( x \right)\cdot dx=\exp \ \left( x \right)}+constante\)
Méthode : Intégration par parties
\(\int{u'\cdot v}=u\cdot v-\int{u\cdot v'}\)
Équations différentielles du premier ordre
La solution de l'équation différentielle du premier ordre sans second membre \(\frac{dy}{dx}+k\cdot y=0\) est \(y(x)={{y}_{0}}\cdot \exp \ \left( -k\cdot x \right)\), y0 étant la valeur de la fonction y en x = 0.
La solution de l'équation différentielle du premier ordre avec second membre constant \(\frac{dy}{dx}+k\cdot y=z\) (où z ne dépend pas de x), est \(y(x)=\left[ {{y}_{0}}-\frac{z}{k} \right]\cdot \exp \ \left( -k\cdot x \right)+\frac{z}{k}\), y0 étant la valeur de la fonction y en x = 0.