Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

$- \Delta r H$ n'est autre que la pente de la droite $\ln K \: vs \: \frac{1}{T}$, soit $\Delta r H =$ -166,3 kJ mol^-1

$- \frac{Ea_1}{R}$ n'est autre que la pente de la droite $\ln k_1 \: vs \: \frac{1}{T}$, soit $Ea_1 =$ 124,7 kJ mol^-1

$K = \frac{k_1}{k_2}$, donc $\Delta r H = Ea_1 - Ea_2$, d'où $Ea_2 =$ 291,0 kJ mol^-1

$X_A^{eq} \approx \frac{K}{1+K}$

$X_A^{POT} = \frac{1}{1+\frac{Ea_2}{Ea_1 \cdot K}}$

En phase liquide, on considérera que le volume est constant : $C_A = C_{A0} \cdot (1 - X_A)$ et $C_B = C_{A0} \cdot X_A$. (On suppose que l'alimentation du réacteur ne contient pas de B.)

$K = \frac{a_B^{eq}}{a_A^{eq}} \approx \frac{C_B^{eq}/C^0}{C_A^{eq}/C^0} = \frac{C_B^{eq}}{C_A^{eq}} = \frac{C_{A0} \cdot X_A^{eq}}{C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^{eq} \right)} = \frac{X_A^{eq}}{1 - X_A^{eq}}$, donc $X_A^{eq} \approx \frac{K}{1+K}$

La POT correspond à $\frac{\partial r}{\partial T} = 0$.

Or $r = k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_B = C_{A0} \cdot \left[ k_1 \cdot \left( 1 - X_A \right) - k_2 \cdot X_A \right]$

Soit $r = C_{A0} \cdot \left[ k_{0,1} \cdot \exp \ \left( \frac{-Ea_1}{R \cdot T} \right) \cdot \left( 1 - X_A \right) - k_{0,2} \cdot \exp \ \left( \frac{-Ea_2}{R \cdot T} \right) \cdot X_A \right]$

Donc $\frac{\partial r}{\partial T} = C_{A0} \cdot \left[ \frac{Ea_1}{R \cdot T^2} \cdot k_{0,1} \cdot \exp \ \left( \frac{-Ea_1}{R \cdot T} \right) \cdot \left( 1 - X_A \right) - \frac{Ea_2}{R \cdot T^2} \cdot k_{0,2} \cdot \exp \ \left( \frac{-Ea_2}{R \cdot T} \right) \cdot X_A \right]$

Cette dérivée s'annule sur la P.O.T., soit $C_{A0} \cdot \left[ \frac{Ea_1}{R \cdot T^2} \cdot k_1 \cdot \left( 1 - X_A^{POT} \right) - \frac{Ea_2}{R \cdot T^2} \cdot k_2 \cdot X_A^{POT} \right] = 0$

D'où $X_A^{POT} = \frac{Ea_1 \cdot k_1}{Ea_1 \cdot k_1 + Ea_2 \cdot k_2} = \frac{1}{1+\frac{Ea_2 \cdot k_2}{Ea_1 \cdot k_1}} = \frac{1}{1 +\frac{Ea_2}{Ea_1 \cdot K}}$

On peut alors tracer point par point, en fonction de la température, à partir des valeurs du tableau de l'énoncé :

$X_A^{piston} = X_A^{eq} \cdot \left[ 1 - \exp \ \left( - \frac{k_1 \cdot \tau}{X_A^{eq}} \right) \right]$

L'optimum correspond à réacteur piston isotherme fonctionnant à la température de 470 K ; le taux de conversion vaut alors 88,0%.

Ce point n'a aucune raison de se trouver sur la POT.

$X_A^{RPA} = \frac{k_1 \cdot \tau }{1 + \frac{k_1 \cdot \tau}{X_{eq}}}$

L'optimum correspond à RPA fonctionnant à la température de 480 K ; le taux de conversion vaut alors 72,7%.

Ce point se trouve sur la POT, car dans un RPA la vitesse est la même partout.

186,5 kW

Le bilan en A sur le réacteur piston s'écrit : $\mathrm{d}F_A = - r \cdot \mathrm{d}V$

Soit $-F_{A0} \cdot \mathrm{d}X_A = -\left[ k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) - k_2 \cdot C_{A0} \cdot X_A \right] \cdot \mathrm{d}V = -C_{A0} \cdot k_1 \cdot \left( 1 - X_A - \frac{X_A}{K} \right) \cdot \mathrm{d}V$

Donc $C_{A0} \cdot Q_v \cdot \mathrm{d}X_A = C_{A0} \cdot k_1 \cdot \left( 1 - X_A - \frac{X_A}{K} \right) \cdot \mathrm{d}V$

D'où $\mathrm{d}X_A = k_1 \cdot \left( 1 - X_A - \frac{X_A}{K} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}V}{Q_v} = k_1 \cdot \left( 1 - X_A -\frac{X_A}{K} \right) \cdot \mathrm{d}\tau$

Ou encore $\frac{\mathrm{d}X_A}{1 - X_A - \frac{X_A}{K}} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{K}} \cdot \frac{\mathrm{d} \left( 1 - X_A - \frac{X_A}{K} \right)}{1 - X_A -\frac{X_A}{K}} = k_1 \cdot \mathrm{d}\tau$

Après intégration, $\ln \ \left( 1 - X_A^{piston} - \frac{X_A^{piston}}{K} \right) = -k_1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{K} \right) \cdot \tau$ ; soit $X_A^{piston} = \frac{1 - \exp \ \left[ -k_1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{K} \right) \cdot \tau \right]}{1 + \frac{1}{K}}$

Finalement $X_A^{piston} = X_A^{eq} \cdot \left[ 1 - \exp \ \left( - \frac{k_1 \cdot \tau}{X_A^{eq}} \right) \right]$

L'optimum correspond à une température de 470 K, le taux de conversion vaut alors 88,0%.

Ce point n'a aucune raison de se trouver sur la POT.

Le bilan en A sur le RPA s'écrit : $F_{A0} - r \cdot V = F_A$

Soit $F_{A0} - \left[ k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^{RPA} \right) - k_2 \cdot C_{A0} \cdot X_A^{RPA} \right] \cdot V = F_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^{RPA} \right)$

Ou encore $-\left[ k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^{RPA} \right) - k_2 \cdot C_{A0} \cdot X_A^{RPA} \right] \cdot V = -F_{A0} \cdot X_A^{RPA} = -C_{A0} \cdot Q_v \cdot X_A^{RPA}$

Donc $\left[ k_1 \cdot \left( 1 - X_A^{RPA} \right) - k_2 \cdot X_A^{RPA} \right] \cdot \tau = X_A^{RPA}$

D'où $X_A^{RPA} = \frac{k_1 \cdot \tau}{1 + k_1 \cdot \tau + k_2 \cdot \tau} = \frac{k_1 \cdot \tau}{1 + k_1 \cdot \tau \cdot \left( 1 + \frac{1}{K} \right)}$, soit $X_A^{RPA} = \frac{k_1 \cdot \tau}{1 + \frac{k_1 \cdot \tau}{X_{eq}}}$

L'optimum correspond à une température de 480 K, le taux de conversion vaut alors 72,7%.

Ce point se trouve sur la POT, car dans un RPA la vitesse est la même partout.

Le bilan thermique s'écrit : $\phi = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta rH$

L'application numérique donne 186,5 kW à évacuer.