Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

\(k_2 =\) 1 min^-1

Le bilan en A s'écrit \(Q_v \cdot C_{A0} - k_1 \cdot C_A \cdot V_{RPA} = Q_v \cdot C_A\), d'où \(C_A = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}}\)

Le bilan en R s'écrit \(0 + \left( k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R \right) \cdot V_{RPA} = Q_v \cdot C_R\), d'où \(C_R = C_A \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}} = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}} \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}}\)

Ainsi \(Y_{R/A}^{RPA} = \frac{C_R}{C_{A0}} = \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)}\)

On dérive :

\(\frac{\mathrm{d}Y_{R/A}^{RPA}}{\mathrm{d}\tau_{RPA}} = \frac{k_1 \cdot \left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right) - k_1 \cdot \tau_{RPA} \cdot \left[ k_1 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right) + k_2 \cdot \left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \right]}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2} = k_1 \cdot \frac{1 +\left( k_1 + k_2 \right) \cdot \tau_{RPA} + k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2 - k_1 \cdot \tau_{RPA} - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2 - k_2 \cdot \tau_{RPA} - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2} = k_1 \cdot \frac{1 - k_1 \cdot k_2 \cdot \tau_{RPA}^2}{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right)^2 \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)^2}\)

Le rendement opératoire \(Y_{R/A}\) passe par donc par un maximum pour un temps de passage tel que \(1 - k_1 \cdot k_2 \cdot {\tau_{RPA}}^2 = 0\), où \(\tau_{RPA} =\) 0,577 min.

D'où \(k_2 = \frac{1}{k_1 \cdot {\tau_{RPA}^{min}}^2} =\) 1 min^-1

On a alors \(Y_{R/A}^{RPA} =\) 0,402

Au maximum de production de R dans un réacteur piston, le rendement opératoire est de 57,7% et le temps de passage de 0,549 min.

Le bilan en A s'écrit \(Q_v \cdot \mathrm{d}C_A = - k_1 \cdot C_A \cdot \mathrm{d}V\), d'où \(C_A = C_{A0} \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right)\)

Le bilan en R s'écrit \(Q_v \cdot \mathrm{d}C_R = \left( k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R \right) \cdot \mathrm{d}V\), d'où \(\frac{\mathrm{d}C_R}{\mathrm{d}\tau} = k_1 \cdot C_A - k_2 \cdot C_R\)

Soit \(\frac{\mathrm{d}C_R}{\mathrm{d}\tau} + k_2 \cdot C_R = k_1 \cdot C_A\), qui est une équation différentielle du premier ordre avec second membre. L'équation sans second membre admet une solution de la forme \(C_R = a \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right)\).

L'équation complète a une solution particulière de la forme \(C_R = b \cdot C_A\) ; ainsi \(b \cdot \frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}\tau} + b \cdot k_2 \cdot C_A = k_1 \cdot C_A = b \cdot \left( - k_1 \cdot C_A \right) + b \cdot k_2 \cdot C_A\), d'où \(b =\frac{k_1}{k_2 - k_1}\)

La solution de l'équation est donc du type \(C_R = a \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) + \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right)\)

Or à l'entrée (\(\tau_{piston} = 0\)), on a \(C_R = 0\) ; donc \(0 = a + \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0}\)

La solution de l'équation est finalement \(C_R = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)

Par conséquent, \(Y_{R/A}^{piston}=\frac{C_R}{C_{A0}} = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)

On dérive : \({\left. \frac{\mathrm{d}Y_{R/A}}{\mathrm{d}\tau} \right|}_{piston} = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot \left[ - k_1 \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau \right) + k_2 \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau \right) \right]\)

On a donc un maximum pour \(k_1 \cdot \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston}^{max} \right) = k_2 \cdot \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston}^{max} \right)\)

Soit \(\tau_{piston}^{max} = \frac{\ln \frac{k_1}{k_2}}{k_1 - k_2} =\) 0,549 min ; alors \(Y_{R/A}^{piston} =\) 0,577

12,5 €/mol de R en RPA & 8,7 €/mol de R en réacteur piston, qui est donc le plus économique

Le prix de revient de R (en euro par mol de R) est \(\mathcal{P} = \frac{5 \cdot F_{A0} + 10 \cdot V}{F_R} = \frac{5 \cdot C_{A0} +10 \cdot \tau}{C_R}\)

En RPA, \(C_R = \frac{C_{A0}}{1 + k_1 \cdot \tau_{RPA}} \cdot \frac{k_1 \cdot \tau_{RPA}}{1 + k_2 \cdot \tau_{RPA}}\)

Donc \(\mathcal{P}_{RPA} = \left( 5 + 10 \cdot \frac{\tau_{RPA}}{C_{A0}} \right) \cdot \frac{\left( 1 + k_1 \cdot \tau_{RPA} \right) \cdot \left( 1 + k_2 \cdot \tau_{RPA} \right)}{k_1 \cdot \tau_{RPA}}\)

En réacteur piston, \(C_R = \frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]\)

Donc \(\mathcal{P}_{piston} = \frac{5 \cdot C_{A0} + 10 \cdot \tau_{piston}}{\frac{k_1}{k_2 - k_1} \cdot C_{A0} \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]} = \left( 5 +10 \cdot \frac{\tau_{piston}}{C_{A0}} \right) \cdot \frac{k_2 - k_1}{k_1 \cdot \left[ \exp \ \left( - k_1 \cdot \tau_{piston} \right) - \exp \ \left( - k_2 \cdot \tau_{piston} \right) \right]}\)

Soit 12,5 €/mol de R en RPA & 8,7 €/mol de R en réacteur piston.

Le réacteur piston est donc le plus économique.