Exercice : Pyrolyse de l'éthane dans un réacteur agité continu en phase gazeuse [GRC homogène]

Pyrolyse de l'éthane dans un réacteur agité continu en phase gazeuse

On s'intéresse à la pyrolyse de l'éthane vers 1000 K sous 1 bar. À cette température, la réaction est quasiment irréversible et du premier ordre par rapport à l'éthane : C₂H₆ → C₂H₄ + H₂. La constante de vitesse de réaction vaut 0,132 s^-1 à 1000 K.

Question

Déterminer le volume du réacteur agité alimenté sous 1 bar par de l'éthane pur, dont le débit mesuré sous 1 bar et à 27°C est de 1 cm³ s^-1, permettant d'atteindre un taux de conversion de l'éthane à la sortie de 73%.

Sur ce premier exemple, on décortique la méthodologie que l'on suivra ensuite à chaque fois (voir les indices successifs).

Indice

Résultat

Solution détaillée

Méthode : 1/ Choisir le réactif clé et définir le taux de conversion correspondant.

Ici il y a un seul réactif, l'éthane. Dans ce réacteur ouvert, son taux de conversion est défini par : $F_{\acute{e}thane} = F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 - X_{\acute{e}thane} \right)$

Méthode : 2/ Expliciter tous les flux molaires (sous forme d'un tableau).

Flux molaires
	C₂H₆	→ C₂H₄	+ H₂	inertes	total
entrée	$F_{\acute{e}thane}^e$	0	0	0	$F_{\acute{e}thane}^e$
n'importe où dans le réacteur	$F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 - X_{\acute{e}thane} \right)$	$F_{\acute{e}thane}^e \cdot X_{\acute{e}thane}$	$F_{\acute{e}thane}^e \cdot X_{\acute{e}thane}$	0	$F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane} \right)$

Méthode : 3/ Expliciter les concentrations utiles puis la loi de vitesse.

Dans le cas d'un réacteur en phase gazeuse, si l'on peut considérer que les gaz sont parfaits, leurs concentrations peuvent s'écrire :

$C_j = \frac{n_j}{V} = \frac{P_j}{R \cdot T} = y_j \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T} = \frac{F_j}{F_{total}} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T}$

[Pour les réacteurs en phase liquide, on peut généralement considérer que le débit volumique (ou le volume si c'est un réacteur fermé) est constant.]

La réaction étant du premier ordre par rapport à l'éthane, $r = k \cdot C_{\acute{e}thane} = k \cdot \frac{F_{\acute{e}thane}}{F_{total}} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T}$ .

On peut alors remplacer les flux par les expressions du tableau (étape 2/) :

$r = k \cdot \frac{F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 - X_{\acute{e}thane} \right)}{F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane} \right)} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T}$

Notons que dans un réacteur parfaitement agité, la composition est la même partout, en particulier égale à sa valeur en sortie de réacteur ; ainsi $X_{\acute{e}thane} = X_{\acute{e}thane}^s$

Méthode : 4/ Écrire le bilan en réactif clé sur le réacteur et remplacer la vitesse de réaction par l'expression établie précédemment.

Ici il s'agit d'un réacteur parfaitement agité fonctionnant en régime permanent avec une seule réaction, donc : $F_{\acute{e}thane}^e - r \cdot V = F_{\acute{e}thane}^s = F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 - X_{\acute{e}thane}^s \right)$ , que l'on peut simplifier en : $r \cdot V = F_{\acute{e}thane}^e \cdot X_{\acute{e}thane}^s$

En remplaçant la vitesse de réaction par son expression, on obtient : $k \cdot \frac{F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 - X_{\acute{e}thane}^s \right)}{F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane}^s \right)} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \cdot V = F_{\acute{e}thane}^e \cdot X_{\acute{e}thane}^s$ ; qui se simplifie en : $k \cdot \frac{\left( 1 - X_{\acute{e}thane}^s \right)}{F_{\acute{e}thane}^e \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane}^s \right)} \cdot \frac{P_{totale}}{R \cdot T} \cdot V = X_{\acute{e}thane}^s$

Méthode :

À ce stade, il est normalement possible de répondre à la question posée. Qui peut être de calculer le volume du réacteur, ou le débit d'alimentation, ou le taux de conversion, ou le temps de passage...

Ici on cherche le volume du réacteur : $V = \frac{F_{\acute{e}thane}^e \cdot R \cdot T}{k \cdot P_{totale}} \cdot \frac{X_{\acute{e}thane}^s \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane}^s \right)}{1 - X_{\acute{e}thane}^s}$

Si le gaz est parfait, à l'entrée du réacteur, on a l'éthane pur donc : $P_0 \cdot Q_{v0} = F_{\acute{e}thane}^e \cdot R \cdot T_0$ ; soit, $F_{\acute{e}thane}^e = \frac{P_0 \cdot Q_{v0}}{R \cdot T_0}$ .

Soit $V = \frac{P_0 \cdot Q_{v0}}{k \cdot P_{totale}} \cdot \frac{T}{T_0} \cdot \frac{X_{\acute{e}thane}^s \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane}^s \right)}{1 - X_{\acute{e}thane}^s} = \frac{Q_{v0}}{k} \cdot \frac{T}{T_0} \cdot \frac{X_{\acute{e}thane}^s \cdot \left( 1 + X_{\acute{e}thane}^s \right)}{1 - X_{\acute{e}thane}^s} =$ 118 cm³

Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

Pyrolyse de l'éthane dans un réacteur agité continu en phase gazeuse

Question

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Résultat

Solution détaillée

Méthode : 1/ Choisir le réactif clé et définir le taux de conversion correspondant.

Méthode : 2/ Expliciter tous les flux molaires (sous forme d'un tableau).

Méthode : 3/ Expliciter les concentrations utiles puis la loi de vitesse.

Méthode : 4/ Écrire le bilan en réactif clé sur le réacteur et remplacer la vitesse de réaction par l'expression établie précédemment.

Méthode :

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