Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

$\eta'_{R/A} = \frac{k_1}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)}$

Puisque l'on travaille en phase liquide, et sans autre précision, on suppose que le volume réactionnel ne varie pas. Ainsi $C_A = C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)$.

Le rendement relatif du produit R par rapport au réactif A est : $\eta'_{R/A} = \frac{\mathbb{R}_R}{\nu_{R/A} \cdot \left( - \mathbb{R}_A \right) } = \frac{r_1}{r_1 + 2 \cdot r_2}$

Soit : $\eta'_{R/A} = \frac{k_1 \cdot C_A}{k_1 \cdot C_A + 2 \cdot k_2 \cdot C_A^2} =\frac{k_1}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_A}$. D'où $\eta'_{R/A} = \frac{k_1}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)}$

RPA ; $X_A^s =$ 1 ; mais alors le volume du réacteur est infini

$\eta'_{R/A}$ étant une fonction croissante de $X_A$, $Y_{R/A}$ sera maximum dans un RPA (aire en jaune) par rapport à un réacteur piston (aire hachurée de rouge) :

$\eta'_{R/A}$ est de surcroît maximum pour $X_A^s =$ 1

Le bilan en A dans un RPA s'écrit : $F_A^e + \left( - r_1 - 2 \cdot r_2 \right) \cdot V_{RPA} = F_A^s$

Soit :

$F_{A0} - \left[ k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A^s \right)^2 \right] \cdot V_{RPA} = F_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)$

Soit $F_{A0} \cdot X_A^s = \left[ k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A^s \right)^2 \right] \cdot V_{RPA}$

D'où $V_{RPA} = \frac{F_{A0} \cdot X_A^s}{k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A^s \right)^2}$, qui tend vers l'infini quand $X_A^s$ tend vers 1.

coût minimum pour un taux de conversion de A en sortie de 79,48% ; alors $\mathcal{P}_R =$ 0,2812 € mol^-1

En observant attentivement les unités, on peut établir le bilan économique : $\mathcal{P}_R \cdot F_R^s = \mathcal{P}_A \cdot F_{A0} + \mathcal{P}'_{fonctionnement} \cdot V_{RPA}$, soit $\mathcal{P}_R = \mathcal{P}_A \cdot \frac{F_{A0}}{F_R^s} + \mathcal{P}'_{fonctionnement} \cdot \frac{V_{RPA}}{F_R^s}$

D'une part, $Y_{R/A} = \frac{F_R^s}{1 \cdot F_{A0}}$, donc $\mathcal{P}_R = \frac{\mathcal{P}_A}{Y_{R/A}} + \frac{\mathcal{P}'_{fonctionnement} \cdot V_{RPA}}{F_{A0} \cdot Y_{R/A}}$

Or $Y_{R/A} = \int\limits_{0}^{X_A^s}{\eta'_{R/A} \left( X_A \right) \cdot \mathrm{d}X_A}$ (l'écriture $\eta'_{R/A} \left( X_A \right)$ signifie ici : la valeur de $\eta'_{R/A}$ en $X_A$, car il n'y a pas de signe de multiplication entre $\eta'_{R/A}$ et la parenthèse). Or dans un RPA, $\eta '_{R/A} \left( X_A \right) =\eta'_{R/A} \left( X_A^s \right) =$ constante.

Donc $Y_{R/A} = \eta'_{R/A} \left( X_A^s \right) \cdot \int\limits_{0}^{X_A^s}{\mathrm{d}X_A} = \frac{k_1}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)} \cdot X_A^s$

D'autre part $V_{RPA} = \frac{F_{A0} \cdot X_A^s}{k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A^s \right)^2} = \frac{F_{A0} \cdot X_A^s}{C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)} \cdot \frac{1}{k_1 +2\ cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)}$

D'où $\mathcal{P}_R = \frac{\mathcal{P}_A}{\frac{k_1 \cdot X_A^s}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)}} + \frac{\mathcal{P}'_{fonctionnement} \cdot \frac{F_{A0} \cdot X_A^s}{C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)} \cdot \frac{1}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)}}{F_{A0} \cdot \frac{k_1 \cdot X_A^s}{k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)}}$

Finalement $\mathcal{P}_R = \frac{\mathcal{P}_A \cdot \left[ k_1 + 2 \cdot k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) \right]}{k_1 \cdot X_A^s} + \frac{\mathcal{P}'_{fonctionnement}}{k_1 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right)}$. Cette fonction est représentée sur le graphique suivant.

Ainsi $\mathcal{P}_R$ est élevé pour $X_A^s$ faible, car on produit peu de P ; $\mathcal{P}_R$ est également élevé pour $X_A^s$ très élevé, car le volume du réacteur devient énorme (comme on l'avait vu à la question précédente).

On détermine que le coût minimum de production de R est obtenu pour un taux de conversion de A en sortie de 79,48% ; ce coût vaut alors 0,2812 € mol^-1.