Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

$\eta'_{S/A} = \frac{k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)}{k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A \right)^2}$

En phase liquide, de volume constant, on peut écrire : $C_A = C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)$

La vitesse de consommation de A est $- \mathbb{R}_A = r_1 + r_2 + r_3 = k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A \right)^2$

La vitesse de production de S est $\mathbb{R}_S = r_2 = k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)$

On peut obtenir au maximum 1 mole de S à partir d'1 mole de A, donc $\eta'_{S/A} = \frac{r_2}{r_1 + r_2 + r_3}$

Soit $\eta'_{S/A} = \frac{k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right)}{k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A \right)^2} = \frac{1 - X_A}{2,1 - 3 \cdot X_A + X_A^2}$

31% de rendement global ; 37 min de temps de passage

$Y_{S/A} = \int\limits_{0}^{X_A^s}{\eta'_{S/A} \left( X_A \right) \cdot \mathrm{d}X_A}$, or dans un RPA, $X_A$ est le même partout, égal à $X_A^s$, soit $Y_{S/A} = \eta'_{S/A} \left( X_A^s \right) \cdot X_A^s = \frac{\left( 1 - X_A^s \right) \cdot X_A^s}{2,1 - 3 \cdot X_A^s + {X_A^s}^2} =$ 0,31, soit 31% de rendement global

Le bilan en A sur le RPA s'écrit $F_A^e - \mathbb{R}_A \cdot V_{RPA} = F_A^s$, ou encore $C_A^e - \mathbb{R}_A \cdot \tau_{RPA} = C_A^s$

D'où $\tau_{RPA} = \frac{C_{A0} \cdot X_A^s}{k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A^s \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A^s \right)} = \frac{X_A^s}{21 - 30 \cdot X_A^s +10 \cdot {X_A^s}^2} =$ 0,62 h, soit 37 min de temps de passage

52% de rendement global ; 9,5 min de temps de passage

$Y_{S/A} = \int\limits_{0}^{X_A^s}{\eta'_{S/A} \left( X_A \right) \cdot \mathrm{d}X_A}$, l'intégration numérique fournit un rendement opératoire de 0,52, soit 52% de rendement global

Le bilan en A sur le réacteur piston s'écrit $\mathrm{d}F_A = -\mathbb{R}_A \cdot \mathrm{d}V$, ou encore $\mathrm{d}C_A = -\mathbb{R}_A \cdot \mathrm{d}\tau$

D'où $\tau_{piston} = C_{A0} \cdot \int\limits_{0}^{X_A^s}{\frac{\mathrm{d}X_A}{\mathbb{R}_A}} = C_{A0} \cdot \int\limits_{0}^{X_A^s}{\frac{\mathrm{d}X_A}{k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A \right)^2}}$

L'intégration numérique fournit 0,16 h, soit 9,5 min de temps de passage

RPA jusqu'à 68,4% de conversion, puis réacteur piston

57% de rendement global ; 13,5 min de temps de passage

Comme illustré sur la figure précédente, on maximise le rendement opératoire en associant en série un RPA (hachures vertes) pour atteindre le taux de conversion $X_A^{max}$ puis un réacteur piston (hachures bleues) de $X_A^{max}$ à $X_A^s$.

On trouve la valeur de $X_A^{max}$ en dérivant $\frac{\mathrm{d}\eta'_{S/A}}{\mathrm{d}X_A} = \frac{-2,1 + 3 \cdot X_A - X_A^2 - \left( 1 - X_A \right) \cdot \left( -3 + 2 \cdot X_A \right)}{\left( 2,1 - 3 \cdot X_A + X_A^2 \right)^2} = \frac{-2,1 + 3 \cdot X_A - X_A^2 + 3 - 2 \cdot X_A - 3 \cdot X_A + 2 \cdot X_A^2}{\left( 2,1 - 3 \cdot X_A + X_A^2 \right)^2} = \frac{0,9 - 2 \cdot X_A + X_A^2}{\left( 2,1 - 3 \cdot X_A + X_A^2 \right)^2}$

$X_A^{max}$ est tel que $0,9 - 2 \cdot X_A^{max} + {X_A^{max}}^2 = 0$, soit $X_A^{max} =$ 0,684, soit 68,4%

Alors $Y_{S/A}^{max} = \eta'_{S/A} \left( X_A^{max} \right) \cdot X_A^{max} + \int\limits_{X_A^{max}}^{X_A^s}{\eta'_{S/A} \left( X_A \right) \cdot \mathrm{d}X_A} = \frac{\left( 1 - X_A^{max} \right) \cdot X_A^{max}}{2,1 - 3 \cdot X_A^{max} + {X_A^{max}}^2} + \int\limits_{X_A^{max}}^{X_A^s}{\eta'_{S/A} \left( X_A \right) \cdot \mathrm{d}X_A} =$ 0,42 + 0,15, soit 57% de rendement global

Le temps de passage dans l'ensemble de ces deux réacteurs en série est : $\tau = \frac{X_A^{max}}{21 - 30 \cdot X_A^{max} + 10 \cdot {X_A^{max}}^2} + \int\limits_{X_A^{max}}^{X_A^s}{\frac{C_{A0} \cdot \mathrm{d}X_A}{k_1 + k_2 \cdot C_{A0} \cdot \left( 1 - X_A \right) + k_3 \cdot C_{A0}^2 \cdot \left( 1 - X_A \right)^2}} =$ 0,133 + 0,093 = 0,225 h, soit 13,5 min de temps de passage

Il resterait à calculer si d'un point de vue économique, il est pertinent de travailler avec deux réacteurs pour gagner 5% de rendement global...