Du premier principe de la thermodynamique au bilan énergétique
Le premier principe de la thermodynamique s'écrit : \(\Delta \mathrm{E}=W+q\). Ou encore, \(\mathrm{E}\) étant l'énergie totale par unité de masse[1], \(Q_m\) le débit massique[2] et \(m\) la masse[3] :
\(Q_m^e \cdot \mathrm{E}^e + \phi +\overset{\bullet}{W} = Q_m^s \cdot \mathrm{E}^s + \frac{\mathrm{d} \left( m \cdot \mathrm{E} \right)}{\mathrm{d}t}\)
Remarque : Flux effectivement reçus positifs
Les flux de chaleur[4] \(\phi\) et le flux de travail \(\overset{\bullet}{W}\) reçus sont comptés positivement.
L'énergie totale par unité de masse \(\mathrm{E}\) peut être décomposée : \(\mathrm{E} = \mathrm{U} + \mathrm{Ep} + \mathrm{Ec}\). Ou encore, si \(\mathrm{U}\) est l'énergie interne par unité de masse[5] : \(\mathrm{E} = \mathrm{U} + g \cdot z + \frac{u^2}{2}\). \(\mathrm{Ep}\) et \(\mathrm{Ec}\) étant respectivement l'énergie potentielle et cinétique par unité de masse ; \(u\) la vistesse d'écoulement[6] ; \(z\) l'altitude[7] ; \(g\) l'accélération de la pesanteur[8].
L'enthalpie par unité de masse[9] est : \(\mathrm{H} = \mathrm{U} + \frac{P}{\rho}\). D'où \(\mathrm{E} = \mathrm{H} - \frac{P}{\rho} + g \cdot z + \frac{u^2}{2}\)
On a donc : \(Q_m^e \cdot \left( \mathrm{H}^e - \frac{P^e}{\rho^e} + g \cdot z^e + \frac{\left( u^e \right)^2}{2} \right) + \phi + \overset{\bullet}{W} = Q_m^s \cdot \left( \mathrm{H}^s - \frac{P^s}{\rho^s} + g \cdot z^s + \frac{\left( u^s \right)^2}{2} \right) + \frac{\mathrm{d} \left[ m \cdot \left( \mathrm{H} - \frac{P}{\rho} + g \cdot z + \frac{u^2}{2} \right) \right]}{\mathrm{d}t}\)
Le terme \(\overset{\bullet}{W} + Q_m^s \cdot \frac{P^s}{\rho^s} - Q_m^e \cdot \frac{P^e}{\rho^e} = \overset{\bullet}{W} + Q_v^s \cdot P^s - Q_v^e \cdot P^e\) n'est autre que le flux de travail reçu de l'extérieur, diminué du flux de travail des forces de pression ; il sera noté \(\overset{\bullet}{W'}\).
Soit, \(Q_m^e \cdot \left( \mathrm{H}^e + g \cdot z^e + \frac{\left( u^e \right)^2}{2} \right) + \phi + \overset{\bullet}{W'} = Q_m^s \cdot \left( \mathrm{H}^s + g \cdot z^s + \frac{\left( u^s \right)^2}{2} \right) + \frac{\mathrm{d} \left[ m \cdot \left( \mathrm{H} + g \cdot z + \frac{u^2}{2} \right) - P \cdot V \right]}{\mathrm{d}t}\)
Exemple : Ordres de grandeur des variations d'énergie potentielle et d'énergie cinétique
En régime permanent, le bilan matière fournit : \(Q_m^e = Q_m^s = Q_m\).
Ainsi, \(\phi +\overset{\bullet}{W'} = Q_m \cdot \left[ \left( \mathrm{H}^s - \mathrm{H}^e \right) + g \cdot \left( z^s - z^e \right) + \frac{\left( u^s \right)^2 - \left( u^e \right)^2}{2} \right]\).
Supposons :
une vitesse en entrée de 2 m/s et en sortie de 1 m/s ;
une variation de niveau entre entrée et sortie de 1 m ;
une variation de température entre entrée et sortie de 1 K.
L'évaluation des ordres de grandeur des différents termes dans le cas de l'eau liquide vers 20°C fournit ceci :
\(\mathrm{H}^s - \mathrm{H}^e = \mathrm{Cp} \cdot \Delta T\) | \(g \cdot \left( z^s - z^e \right)\) | \(\frac{\left( u^s \right)^2 - \left( u^e \right)^2}{2}\) |
4,18 103 J kg-1 | 9,81 J kg-1 | 3 J kg-1 |
Notion fondamentale : Bilan enthalpique
Dans la plupart des problèmes de génie des procédés, le bilan énergétique sur un système quelconque, pourra se faire en négligeant les énergies cinétiques et potentielles :
\(Q_m^e \cdot \mathrm{H}^e + \phi + \overset{\bullet}{W'} = Q_m^s \cdot \mathrm{H}^s + \frac{\mathrm{d} \left( m \cdot \mathrm{H} - P \cdot V \right)}{\mathrm{d}t} = Q_m^s \cdot \mathrm{H}^s + \frac{\mathrm{d} \left( m \cdot \mathrm{H} \right)}{\mathrm{d}t} - P \cdot \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} - V \cdot \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}\)
Dans la plupart des problèmes de génie des procédés, aucun travail (autre que celui des forces de pression) n'est mis en jeu. En outre les réacteurs fermés ou semi-fermés travaillent à volume constant et sont rarement le siège de grandes variations de pression ; les réacteurs ouverts fonctionnent en régime permanent (hors démarrages et arrêts). C'est pourquoi on écrira souvent le bilan "enthalpique" :