Cas d'un réacteur fermé
Dans un réacteur fermé, le bilan thermique devient : \(\phi = \frac{\mathrm{d}\left( m \cdot \mathrm{H} \right)}{\mathrm{d}t}\)
Si l'enthalpie de mélange est négligeable : \(m \cdot \mathrm{H} = \sum\limits_{j}{m_j \cdot \mathrm{H}_j}\)
Par conséquent, \(\phi = \sum\limits_{j}{\frac{\mathrm{d}m_j}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{H}_j} + \sum\limits_{j}{m_j \cdot \frac{\mathrm{dH}_j}{\mathrm{d}t}}\)
Comme nous l'avons vu au premier chapitre, pour chaque constituant j : \(n_j = n_{j0} + n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}\), où \(n_0\) est le nombre de moles d'actifs initialement présents dans le réacteur[1].
On peut également écrire : \(\frac{\mathrm{d}n_j}{\mathrm{d}t} = n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}}\)
Donc : \(\frac{\mathrm{d}m_j}{\mathrm{d}t} = n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}}\)
Ainsi, \(\phi = \sum\limits_{j}{\left( n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}} \right) \cdot \mathrm{H}_j} + \sum\limits_{j}{m_j \cdot \frac{\mathrm{dH}_j}{\mathrm{d}t}} = n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \mathrm{H}_j} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}} + \sum\limits_{j}{m_j \cdot \frac{\mathrm{dH}_j}{\mathrm{d}t}}\)
Le terme \(\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \mathrm{H}_j} \right)\) n'est autre que l'enthalpie de réaction \(\Delta r H_i\) de la réaction \(i\).
D'où : \(\phi = n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}} + \sum\limits_{j}{m_j \cdot \frac{\mathrm{dH}_j}{\mathrm{d}t}}\)
Si les capacités calorifiques peuvent être considérées comme constantes dans le domaine de température étudié, on aura donc : \(\phi = n_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i \cdot \frac{\mathrm{d}X_i}{\mathrm{d}t}} + \sum\limits_{j}{m_j \cdot \mathrm{Cp}_j \cdot \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}}\)
Finalement :
Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique devient :
\(\phi = n_{A0} \cdot \frac{\mathrm{d}X_A}{\mathrm{d}t} \cdot \Delta r H + m \cdot \mathrm{Cp} \cdot \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\)