Cas d'un réacteur ouvert en régime permanent

Dans un réacteur ouvert, en régime permanent, ce bilan enthalpique devient :

Si l'enthalpie de mélange est négligeable : Q_m \cdot \mathrm{H} = \sum\limits_{j}{Q_{m,j} \cdot \mathrm{H}_j}

Par conséquent, \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^s \cdot \mathrm{H}_j^s}

Comme nous l'avons vu au premier chapitre, pour chaque constituant j : F_j = F_{j0} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i}, où F_0 est le débit molaire d'actifs en entrée, \nu_{ij} le coefficient stœchiométrique de l'espèce j dans la réaction numéro i et X_i l'avancement de la réaction numéro i.

On a donc : Q_{m,j}^s = F_j^s \cdot M_j = Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i} (où M_j est la masse molaire du constituant j)

D'où : \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{H}_j^e} + \phi = \sum\limits_{j}{\left( Q_{m,j}^e + F_0 \cdot M_j \cdot \sum\limits_{i}{\nu_{ij} \cdot X_i} \right) \cdot H_j^s}, soit \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot H_j^s} \right) \cdot X_i}

Puisque le produit de la masse molaire M par l'enthalpie massique \mathrm{H} est l'enthalpie molaire H, le terme \left( \sum\limits_{j}{\nu_{ij} \cdot M_j \cdot \mathrm{H}_j^s} \right) n'est autre que l'enthalpie molaire de réaction \Delta r H_i(T^s) de la réaction i à la température de sortie du réacteur, d'où : \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \left( H_j^s - H_j^e \right)} + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}

En l'absence de changement d'état, et si les capacités calorifiques massiques \mathrm{Cp} peuvent être considérées comme constantes dans le domaine de température étudié, on aura : \phi = \sum\limits_{j}{Q_{m,j}^e \cdot \mathrm{Cp}_j} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0\cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}

Notion fondamentaleBilan thermique

Finalement on obtient le bilan :

\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i}

RemarqueAutres écritures du bilan thermique

Ou encore : \phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i} (où Cp est la capacité calorifique molaire du mélange).

Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique devient :

\phi = Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s)

On rappelle que les capacités calorifiques sont notées : Cp lorsqu'elles sont molaires et \mathrm{Cp} lorsqu'elles sont massiques.

AttentionOn ne crée pas d'énergie !

L'enthalpie de réaction ne correspond donc en aucun cas à une création d'énergie, il s'agit d'une commodité d'écriture du bilan thermique !!!

RemarqueDifférents "chemins" pour écrire le bilan thermique

Pour se souvenir de ce bilan (et éviter de le redémontrer à chaque fois), on peut remarquer que le premier terme Q_m^e \cdot \mathrm{Cp} \cdot \left( T^s - T^e \right) = F^e \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) correspond à l'échauffement (algébrique) des réactifs jusqu'à la température de sortie du réacteur ; le second terme F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T^s) \cdot X_i} est quant à lui le flux de chaleur nécessaire pour faire réagir les flux de matières transformées selon les diverses réactions numérotées i à la température de sortie T^s.

L'enthalpie étant une fonction d'état, on peut aussi effectuer ce calcul est ajoutant le terme avec l'enthalpie de réaction calculée à la température d'entrée du réacteur et un terme d'échauffement (toujours algébrique) des produits de la température d'entrée à la température de sortie du réacteur. Ou encore, si l'on dispose d'une donnée sur l'enthalpie de réaction à la température T_1 et en l'absence de tout changement d'état des réactifs et des produits sur toute la gamme de température [T_1,T_e,T_s] :

\phi = F_{total}^e \cdot Cp \cdot \left( T_1 - T^e \right) + F_0 \cdot \sum\limits_{i}{\Delta r H_i(T_1) \cdot X_i} +F_{total}^s \cdot Cp \cdot \left( T^s - T_1 \right)

Cette expression pourra en particulier être très utile si T_1 est la température de référence.

RemarqueLa marche adiabatique

La "marche adiabatique" consiste à faire fonctionner le réacteur sans échange de chaleur avec l'extérieur. Pour une réaction unique consommant un réactif A, le bilan thermique est : \phi = F_{A0} \cdot Cp \cdot \left( T^s - T^e \right) + F_{A0} \cdot X_A^s \cdot \Delta r H(T^s) = 0

Soit \frac{T^s - T^e}{X_A^s} = -\frac{\Delta r H(T^s)}{Cp}. On appelle J = -\frac{\Delta r H}{Cp} l'élévation de température adiabatique. C'est l'élévation maximum de température que peut subir un volume réactionnel suite à une conversion X_A^s. C'est enfin l'inverse de la pente de la droite X_A vs T représentant le bilan thermique.

MéthodeRésumé en vidéo sur les bilans enthalpique et thermique et leur représentation graphique

GRC : bilan thermique
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