Intégration d'une équation différentielle

Méthode d'EULER explicite

La méthode d'EULER permet de résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre du type \(\frac{\text{d}y}{\text{d}z}=f\left( z,y \right)\) avec condition initiale. Ainsi, connaissant y0 en z = z0, on calcule de proche en proche les valeurs de y sur tout le domaine d'étude \(0 \le {{z}_{k}}={{z}_{0}}+k\cdot \delta \le L\) selon : \({{y}_{k+1}}={{y}_{k}}+\delta \cdot f({{z}_{k}},{{y}_{k}})\) pour la forme explicite de la méthode d'EULER.

où \(\delta\) est le pas d'intégration : \(\delta =\frac{L}{n}\) (\(n\) étant le nombre de pas d'intégration)

Méthode de HEUN

Cette méthode permet de résoudre le même type d'équation que la méthode d'EULER ; elle est plus précise.

\({{y}_{k+1}}={{y}_{k}}+\frac{\delta }{4}\cdot \left( {{Y}_{1}}+3\cdot {{Y}_{2}} \right)\)

Avec :

\[\begin{align*} \begin{cases} {{Y}_{1}}= f\ \left( z,y \right) \\ {{Y}_{2}}= f\ \left( z+\frac{2 \cdot \delta }{3},y+\frac{2 \cdot \delta }{3}\cdot {{Y}_{1}} \right) \end{cases} \end{align*}\]

Méthode de RUNGE-KUTTA

La méthode de RUNGE-KUTTA d'ordre 4 permet également de résoudre ce type d'équation.

\({{y}_{k+1}}={{y}_{k}}+\frac{\delta }{6}\cdot \left( {{Y}_{1}}+2\cdot {{Y}_{2}}+2\cdot {{Y}_{3}}+{{Y}_{4}} \right)\)

Avec :

\[\begin{align*} \begin{cases} {{Y}_{1}}= f\ \left( z,y \right) \\ {{Y}_{2}}= f\ \left( z+\frac{\delta }{2},y+\frac{\delta }{2}\cdot {{Y}_{1}} \right) \\ {{Y}_{3}}= f\ \left( z+\frac{\delta }{2},y+\frac{\delta }{2}\cdot {{Y}_{2}} \right) \\ {{Y}_{4}}= f\ \left( z+\delta ,y+\delta \cdot {{Y}_{3}} \right) \end{cases} \end{align*}\]

Cette méthode est habituellement plus précise que les deux précédentes.

Intégration d'un système d'équations différentielles

Conseil

Ces méthodes restent applicables si y et f sont des vecteurs ; elles permettent donc de résoudre un système d'équations différentielles.