Exploitation quantitative de la DTS : modélisation [GRC homogène]

Exploitation quantitative de la DTS : modélisation

DTS4 : modélisation des écoulements

Ayant obtenu par la méthode des traceurs une courbe expérimentale de DTS^[2], on se propose de rendre compte de l'allure observée au moyen d'un modèle hydrodynamique simple, utilisable commodément par la suite pour prédire la conversion chimique d'un réacteur ou pour servir de base à son extrapolation.

Raisonnement : Modèle à dispersion axiale

Il s'agit de représenter les faibles écarts à l'écoulement piston. Le modèle superpose un écoulement piston purement convectif de vitesse $u$ et une dispersion aléatoire obéissant formellement à une loi de Fick, dans le système de coordonnées $x$ se déplaçant à la vitesse moyenne $u$ du fluide :

$D \cdot \frac{\partial^2 C}{\partial z^2} = \frac{\partial C}{\partial t}$

où $D$ est un coefficient de dispersion phénoménologique qui rend compte à la fois du fluide, du régime d'écoulement et de la géométrie du système.

Pour $\tilde{N}$ moles de traceur par unité de surface déposées en $x = 0$ , la solution de l'équation de dispersion est :

$C\ (z) = \frac{\tilde{N}}{\sqrt{4\pi \cdot D \cdot t_s}} \cdot \exp \ \left( -\frac{x^2}{4 \cdot D \cdot t_s} \right)$

L'abscisse axiale $z = x + u \cdot t$ est fixe par rapport au système ; ainsi $z = 0$ en entrée et $z = L = u \cdot \overline{t_s}$ en sortie. L'observateur posté à la sortie voit la concentration en fonction du temps en écrivant :

$x = u \cdot \left( \overline{t_s} - t_s \right)$

Comme $C_0 = \frac{\tilde{N}}{L}$ et $E\ \left( t_s \right) = \frac{C\ \left( t_s \right)}{C_0 \cdot \overline{t_s}}$ , on a :

$E\ \left( t_s \right) = \frac{1}{2} \cdot {\left( \frac{\text{Pe}}{\pi \cdot t_s \cdot \overline{t_s}} \right)}^{1/2} \cdot \exp \ \left( -\frac{Pe \cdot {\left( \overline{t_s} - t_s \right)}^2}{4 \cdot t_s \cdot \overline{t_s}} \right)$

Cette expression fait intervenir le critère de PECLET^[3] $\text{Pe}$ (produit d'une vitesse caractéristique de l'écoulement par une distance caractéristique, divisé par un coefficient de dispersion) : $\text{Pe} = \frac{u \cdot L}{D}$ .

L'écoulement piston parfait est obtenu pour $D = 0$ , soit $\text{Pe}$ infini (dans la pratique pour $\text{Pe} > 200$ ). Pour les faibles critères de PECLET, la DTS s'affaisse et devient dissymétrique, comme on l'observe sur la figure suivante. On retrouve la DTS d'un RPA lorsque $\text{Pe} \rightarrow 0$ .

Courbes de DTS en fonction du critère de PECLET. | Informations^[4]

Les moments de la DTS sont reliés au critère de PECLET, pour les grandes valeurs de celui-ci, selon :

$\text{Pe} = 2 \cdot {\left( \frac{\overline{t_s}}{\sigma} \right)}^2$

Modèle de cascade de RPA

Lorsque $J$ réacteurs parfaitement agités sont associés en cascade (c'est-à-dire en série), la DTS^[2] est la suivante :

$E\ \left( t_s \right) = {\left( \frac{J}{\overline{t_s}} \right)}^J \cdot \frac{{t_s}^{J-1} \cdot \exp \ \left( -J \frac{t_s}{\overline{t_s}} \right)}{\left( J-1 \right)\ !}$

Ce modèle est illustré sur la figure suivante.

Courbes de DTS en fonction du nombre de RPA en cascade. | Informations^[5]

On retrouve le cas du mélangeur parfait pour $J = 1$ et le piston parfait pour $J$ infini (dans la pratique pour $J > 100$ ).

Pour aller plus loinLien entre les deux modèles

Ces deux modèles sont de natures différentes, en particulier la matière peut remonter le courant (diffusion) dans le cas "dispersion axiale" mais pas dans le cas "cascade de RPA". Toutefois, à $\text{Pe}$ et $J$ élevés, ces modèles coïncident, comme on le remarque sur la figure suivante. On a alors $\text{Pe} = 2 \cdot (J-1)$ .

Lien entre le modèle à dispersion axiale et la cascade de RPA. | Informations^[6]

Ces deux modèles permettent une interpolation continue entre les deux cas idéaux que sont le piston et le mélangeur parfaits.

Représentation d'un réacteur réel

Pour rendre compte du comportement de réacteurs réels où l'écoulement est complexe, on est amené à compliquer les modèles élémentaires (figurés ci-dessus) en les associant (selon les possibilités de la figure suivante).

Modes de liaison des motifs élémentaires. | Informations^[8]

On dit qu'une association de réacteurs idéaux (par exemple celle de la figure suivante) est représentative d'un réacteur réel, et on l'appelle modèle, si les courbes de répartition des temps de séjour des molécules qui les traversent sont identiques. La courbe relative à l'association est calculée et la courbe relative au réacteur est obtenue expérimentalement en utilisant la technique des traceurs. Ce modèle n'est pas toujours unique, notamment pour les écoulements complexes.

Exemple de représentation d'un réacteur réel comme l'association de réacteurs idéaux. | Informations^[9]

Remarque : Représentation des défauts d'écoulement

La figure ci-contre présente le modèle de Cholette et Cloutier. Le paramètre $\alpha$ permet de rendre compte des courts-circuits et le paramètre $\beta$ des zones stagnantes (recirculations).

La fonction DTS associée est :

$E\ (t) = ( 1 - \alpha ) \cdot \delta (t) + \frac{\alpha^2}{\beta \cdot \overline{t_s}} \cdot \exp \ \left( -\frac{\alpha \cdot t}{\beta \cdot \overline{t_s}} \right)$

Modèle de Cholette et Cloutier. | Informations^[10]

La figure suivante représente la DTS^[2] pour des valeurs $\alpha = 0,8$ et $\beta= 0,5$ données.