Propriétés de la fonction DTS
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Considérons le signal mesuré en sortie du système, comme illustré sur la figure ci-contre.
Réponse à une impulsion : la fonction de distribution E
La fonction de distribution des temps de séjour[3] possède les propriétés usuelles des distributions. En particulier on peut définir les moments de cette distribution.
Définition : Moments de la distribution
Le moment[4] d'ordre n de la fonction de distribution des temps de séjour est :
\mu_n = \int\limits_{0}^{\infty}{t_s^n \cdot E\ \left(t_s \right) \cdot \mathrm{d}t_s}
Le moment d'ordre 0, est le facteur de normation. Il est unitaire puisque E\ (t_s) = \frac{C\ (t_s)}{\int\limits_0^{\infty}{C\ (t) \cdot \mathrm{d}t}} :
\mu_0 = 1
Le moment d'ordre 1 représente la moyenne de la distribution. Il est relié au temps de séjour moyen[5] \overline{t_s} par :
\overline{t_s} = \frac{\mu_1}{\mu0} = \mu_1
Le moment d'ordre 2 représente l'étalement autour du temps de séjour moyen. Il est lié à la variance \sigma par :
\sigma = \frac{\mu_2}{\mu_0} - \left( \frac{\mu_1}{\mu_0} \right)^2 = \mu_2 - \mu_1^2
Le moment d'ordre 3 représente l'asymétrie de la distribution et le moment d'ordre 4 son aplatissement.
Remarque : Réponse à un échelon : la fonction F
La fonction F est simplement l'intégrale de la fonction de distribution des temps de séjour E, elle apporte donc la même information. La méthode de mesure de la DTS[6] par injection échelon est donc dite "méthode intégrale".
F\ (t_s) = \int\limits_{0}^{t_s}{E\ (t) \cdot \mathrm{d}t}
Ceci se retrouve simplement en se rappelant que l'impulsion est la fonction dérivée de l'échelon.
