Génie de la Réaction Chimique : les réacteurs homogènes

87,8 %

On souhaite obtenir \(\begin{align}& \frac{\left( N{{O}_{2}} \right)}{\left( NO \right)}=\frac{{}^{{{P}_{NO2}}}/{}_{R\cdot T}}{{}^{{{P}_{NO}}}/{}_{R\cdot T}}=\frac{{{P}_{NO2}}}{{{P}_{NO}}}=\frac{{{y}_{NO2}}}{{{y}_{NO}}}=\frac{F_{NO2}^{e}+F_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{F_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right)} \\& =\frac{{}^{F_{NO2}^{e}}/{}_{{{F}^{e}}}+{}^{F_{NO}^{e}}/{}_{{{F}^{e}}}\cdot {{X}_{NO}}}{{}^{F_{NO}^{e}}/{}_{{{F}^{e}}}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right)}=\frac{{}^{1}/{}_{100}+{}^{10}/{}_{100}\cdot {{X}_{NO}}}{{}^{10}/{}_{100}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right)}=8\end{align}\)

D'où \(X_{NO}^{s}=\frac{79}{90}=\)0,878

\(\kappa = \frac{F^e}{k} \cdot \left( \frac{R \cdot T}{P} \right)^3 = \frac{Q_v^e}{k} \cdot \left( \frac{R \cdot T}{P} \right)^2\)

Le bilan en NO sur une tranche de réacteur piston s'écrit : \(- r \cdot \mathrm{d}V = \mathrm{d}F_{NO}\)

Soit , ou encore \(k\cdot {{\left( {}^{{{P}_{NO}}}/{}_{R\cdot T} \right)}^{2}}\cdot \left( {}^{{{P}_{O2}}}/{}_{R\cdot T} \right)\cdot dV=F_{NO}^{e}\cdot d{{X}_{NO}}\)

\(k\cdot \frac{{{\left[ F_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left( F_{O2}^{e}-\frac{F_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}{{{\left( {{F}^{e}}-\frac{F_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}^{3}}}\cdot {{\left( \frac{P}{R\cdot T} \right)}^{3}}\cdot dV=F_{NO}^{e}\cdot d{{X}_{NO}}\)

\(k\cdot \frac{{{\left[ {}^{F_{NO}^{e}}/{}_{{{F}^{e}}}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left( {}^{F_{O2}^{e}}/{}_{{{F}^{e}}}-\frac{F_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2\cdot {{F}^{e}}} \right)}{{{\left( 1-\frac{F_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2\cdot {{F}^{e}}} \right)}^{3}}}\cdot {{\left( \frac{P}{R\cdot T} \right)}^{3}}\cdot dV=F_{NO}^{e}\cdot d{{X}_{NO}}\)

\(k\cdot \frac{{{\left[ y_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left( y_{O2}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}{{{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}^{3}}}\cdot {{\left( \frac{P}{R\cdot T} \right)}^{3}}\cdot dV=y_{NO}^{e}\cdot {{F}^{e}}\cdot d{{X}_{NO}}\)

\(dV=\frac{{{F}^{e}}}{k}\cdot {{\left( \frac{R\cdot T}{P} \right)}^{3}}\cdot \frac{y_{NO}^{e}\cdot {{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}^{3}}}{{{\left[ y_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left( y_{O2}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{X}_{NO}}}{2} \right)}\cdot d{{X}_{NO}}\)

Soit \(V=\kappa \cdot \int\limits_{0}^{X_{NO}^{s}}{\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot {{X}_{NO}} \right)}^{3}}}{{{\left[ y_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left[ y_{{{O}_{2}}}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot {{X}_{NO}} \right]}\cdot d{{X}_{NO}}}$, avec $\kappa =\frac{{{F}^{e}}}{k}\cdot {{\left( \frac{R\cdot T}{P} \right)}^{3}}\)

\(\kappa =\) 0,123 m³ dans les conditions de travail.

\(\kappa =\) 4,558 10^-3 m³ sous 3 atm, soit un réacteur 27 fois plus petit.

\(\kappa =\frac{{{F}^{e}}}{k}\cdot {{\left( \frac{R\cdot T}{P} \right)}^{3}}=\frac{{{Q}^{e}}}{k}\cdot {{\left( \frac{R\cdot T}{P} \right)}^{2}}\), avec \({{Q}^{e}}={{Q}_{0}}\cdot \frac{T}{{{T}^{0}}}\cdot \frac{{{P}^{0}}}{P}=\)10733 m³/h, soit 2,98 m³ s^-1

\(\kappa\) = 1,4 10^-2 mol^-2 m⁶ s^-1 d'où \(\kappa\) = 0,123 m³

Si la pression utilisée était de 3 atm, on aurait \(\kappa\) = 4,558 10^-3 m³, soit un réacteur 27 fois plus petit.

L'intégrale précédente vaut 1490,3 à 10^-1 près, soit un volume de réacteur de 183 m³.

Le programme Fortran donne les résultats suivants :

D'où \(\int\limits_{0}^{X_{NO}^{s}}{\frac{y_{NO}^{e}\cdot {{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot {{X}_{NO}} \right)}^{3}}}{{{\left[ y_{NO}^{e}\cdot \left( 1-{{X}_{NO}} \right) \right]}^{2}}\cdot \left[ y_{{{O}_{2}}}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot {{X}_{NO}} \right]}\cdot d{{X}_{NO}}}=\)1490,3 à 10^-1 près. Soit un volume de 183 m³

1749 m³

Le bilan en NO sur le RPA est : \(F_{NO}^{e}-r\cdot {{V}_{RPA}}=F_{NO}^{s}=F_{NO}^{e}\cdot \left( 1-X_{NO}^{s} \right)\)

soit \(k\cdot \frac{{{\left[ y_{NO}^{e}\cdot \left( 1-X_{NO}^{s} \right) \right]}^{2}}\cdot \left( y_{O2}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}\cdot X_{NO}^{s}}{2} \right)}{{{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}\cdot X_{NO}^{s}}{2} \right)}^{3}}}\cdot {{\left( \frac{P}{R\cdot T} \right)}^{3}}\cdot {{V}_{RPA}}=F_{NO}^{e}\cdot X_{NO}^{s}=\frac{y_{NO}^{e}\cdot P\cdot {{Q}^{e}}}{R\cdot T}\cdot X_{NO}^{s}\)

D'où \({{V}_{RPA}}=\kappa \cdot \frac{X_{NO}^{s}\cdot {{\left( 1-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot X_{NO}^{s} \right)}^{3}}}{y_{NO}^{e}\cdot {{\left( 1-X_{NO}^{s} \right)}^{2}}\cdot \left( y_{{{O}_{2}}}^{e}-\frac{y_{NO}^{e}}{2}\cdot X_{NO}^{s} \right)}\), soit un volume de 1749 m³

Le RPA est beaucoup plus grand que le réacteur piston permettant d'effectuer la même conversion. Ceci est cohérent avec la loi de vitesse : elle est en effet fonction des concentrations en réactifs ; dans un RPA ces concentrations sont faibles partout, alors que dans un réacteur piston elles sont élevées près de l'entrée et diminuent le long du réacteur.