Exercice : Dimensionnement d'une pompe centrifuge alimentant un décanteur depuis un cristalliseur [HYDRAULIQUE pour le génie des procédés]

Dimensionnement d'une pompe centrifuge alimentant un décanteur depuis un cristalliseur

Un décanteur est alimenté depuis un cristalliseur via une pompe centrifuge avec un débit de 300 m³ h^-1. Le niveau (constant) de solvant dans le cristalliseur est 2 m au-dessus de celui dans le décanteur (également à niveau constant). La pression dans le ciel du cristalliseur est de 1,2 bar. Pour un bon fonctionnement du décanteur, la pression à son entrée doit être de 1,5 bar.

La canalisation entre le cristalliseur et la pompe mesure 1,5 m de long et a un diamètre interne 15 cm. Elle est en acier, de rugosité 0,1 mm. Elle comporte une vanne de fond de cuve (dont le coefficient de perte de charge vaut 12) et un coude arrondi (dont le coefficient de perte de charge vaut 0,7).

La canalisation entre la pompe et le décanteur est identique à celle côté aspiration, mais mesure 7 m de long. Elle ne comporte pas de singularité.

La pompe a un rendement de 57%.

On assimile les propriétés de la suspension produite par le cristalliseur à celles du solvant, soit une masse volumique de 875 kg m^-3 et une viscosité de 5 10^-3 Pa s.

Question

Calculer la hauteur manométrique totale (en mètre de colonne d'eau) et la puissance de la pompe nécessaire.

Indice

Résultat

Solution détaillée

schéma de l'installation cristalliseur -> décanteur | Informations^[1]

On écrit l'équation de Bernouilli généralisée entre la surface (immobile) du liquide dans le cristalliseur et l'entrée dans le décanteur :

\({{P}_{crist}}+\rho \cdot g\cdot {{z}_{crist}}+\frac{\rho \cdot 0^2}{2} + \Delta P_{pompe}={{P}_{decant}}+\rho \cdot g\cdot {{z}_{decant}}+\frac{\rho \cdot {{u}_{decant}}^{2}}{2} + \Delta P_{f}\)

avec \(\Delta {{P}_{f}}=\Delta {{P}_{fr}}+\sum{\Delta {{P}_{fs}}}=\frac{\rho \cdot {u^2}}{2}\cdot \left( \frac{8\cdot {}^{f}/{}_{2}\cdot \left( L_{1} +L_{2} \right)}{D} +k_{vanne} +k_{coude} \right)\)

On calcule la vitesse \(u = \frac{4 \cdot Q_{v}}{\pi \cdot D^2}=\frac{4 \cdot \frac{300}{3600}}{\pi \cdot 0,15^2} =\) 4,716 m s^-1

On en déduit le nombre de Reynolds \(Re = \frac{ \rho \cdot u \cdot D}{\mu} = \frac{ 875 \cdot 4,716 ^ 0,15}{5 \cdot 10^-3} =\) 123 787

On calcule également la rugosité relative \(\frac{e}{R} = \frac{0,1}{75} =\) 0,0013

On peut alors placer le point correspondant sur le diagramme de Moody :

diagramme de Moody pour l'installation cristalliseur -> décanteur

On en déduit que le régime est intermédiaire et que le facteur de frottement vaut environ 0,0025.

La relation de Churchill fournit une valeur plus précise :

\({f}/{}_{2}={\left( 2,457\cdot \ln \ {{\left[ {{\left( \frac{7}{Re} \right)}^{0,9}}+0,27\cdot \frac{e}{D} \right]}^{-1}} \right)}^{-2}=\) 0,00258

Finalement \(\Delta P_{pompe}={{P}_{decant}} - {{P}_{crist}} -\rho \cdot g\cdot h +\frac{\rho \cdot {u}^{2}}{2} \cdot \left(1 +\frac{8\cdot {}^{f}/{}_{2}\cdot \left( L_{1} +L_{2} \right)}{D} +k_{vanne} +k_{coude} \right)\)

\({{P}_{decant}} - {{P}_{crist}} =\) 30 000 Pa : variation de pression statique

\(-\rho \cdot g\cdot h =\) -17 168 Pa : variation d'énergie potentielle (par unité de volume)

\(\frac{\rho \cdot {u}^{2}}{2}=\) 9 729 Pa : variation d'énergie cinétique (par unité de volume)

\(\frac{\rho \cdot {u}^{2}}{2} \cdot \frac{8\cdot {}^{f}/{}_{2}\cdot \left( L_{1} +L_{2} \right)}{D} =\) 11 372 Pa : pertes de charge régulières

\(\frac{\rho \cdot {u}^{2}}{2} \cdot \left(k_{vanne} +k_{coude} \right) =\) 123 559 Pa : pertes de charge singulières

Soit au total \(\Delta P_{pompe}=\) 157 493 Pa

D'où \(H_{mt}=\frac{\Delta P_{pompe}}{\rho_{eau} \cdot g}=\) 16,1 mCE

Enfin \(\mathcal{P}_{elect} = \frac{Q_{v} \cdot \Delta{P_{pompe}}}{\eta}=\) 23 kW, ce qui n'est pas rien !