Analyse Dimensionnelle

Il existe deux principales méthodes pour effectuer une analyse dimensionnelle, l'une peut paraître plus physique (Rayleigh) et l'autre plus mathématique (Vashy-Buckingham). Nous allons voir rapidement la méthode pour appliquer les deux.

L'objectif pour les deux est de faire apparaître les nombres adimensionnels qui régissent le problème.

Méthode de Rayleigh

Méthode

  • Recenser les variables du problème ;

  • Former une équation hypothétique (en général, un polynôme) ;

  • Appliquer à cette relation le principe d'homogénéité (même dimension de chaque coté de l'égalité) ;

  • Résoudre le système d'équations proposé par les exposants des dimensions fondamentales.

ExempleCalcul d'une charge d'explosifs

Un explosif qui explose sous l'eau est converti presque instantanément en gaz. La pression initiale \(P_0\) de l'onde engendrée dépend uniquement de la nature de l'explosif. Pour du TNT :

\[P_0=12,8.10^9N.m^{-2}\]

L'explosion cause une onde de choc sphérique transmise sous forme d'un front d'amplitude P fonction à chaque instant de :

  • la pression initiale \(P_0\),

  • la masse \(M\) d'explosif,

  • du rayon du front sphérique \(R\),

  • la masse volumique \(\rho\) du liquide,

  • du coefficient de compressibilité :

\[\chi_L=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_T\]

On cherche les nombres adimensionnels qui régissent le problème :

\[[P_0]=M.L^{-1}.T^{-1} \\ [M]=M \\ [R]=L \\ [\rho]=M.L^{-3} \\ [\chi_L]=L.T.M^{-1} \\ [P]=M.L^{-1}.T^{-1}\]

On écrit maintenant le polynôme suivant (la somme montre juste que le problème est plus complexe qu'une simple égalité) :

\[P=\Sigma_i P_0^{a_i}M^{b_i}R^{c_i}\rho^{d_i}\chi_L^{e_i} \]

On effectue maintenant un calcul d'homogénéité dimensionnelle :

\[[P]=[P_0]^{a_i}[M]^{b_i}[R]^{c_i}[\rho]^{d_i}[\chi_L]^{e_i} \\ M.L^{-1}.T^{-1}=(M.L^{-1}.T^{-1})^{a_i}M^{b_i}L^{c_i}(M.L^{-3})^{d_i}(L.T.M^{-1})^{e_i} \\ \\ \left\{ \begin{array} {c @{=} c} 1 & a_i+b_i+d_i-e_i \\ -1 & -a_i+c_i-3d_i+e_i \\ -1 & -a_1+e_i \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array} {c @{=} c} a_i & e_i+1 \\ b_i & -d_i \\ c_i & 3d_i \end{array} \right. \\ P=\Sigma_i P_0^{e_i+1}M^{-d_i}R^{3d_i}\rho^{d_i}\chi_L^{e_i} \\ P=P_0\Sigma \left(\frac{\rho R^3}{M}\right)^{d_i}\left(P_0\chi_L\right)^{e_i} \frac{P}{P_0}=\Sigma \left(\frac{\rho R^3}{M}\right)^{d_i}\left(P_0\chi_L\right)^{e_i}\]

On a bien la présence de trois nombres adimensionnels pour régir le problème.

Théorème de Vashy-Buckingham

Notion fondamentaleThéorème

Voici l'énoncé du théorème π de Vashy-Buckingham :

Étant donnée une suite \(\lbrace x_i \rbrace\) de \(p\) variables reliant un phénomène physique et qui font intervenir \(q\) grandeurs fondamentales, alors, si l'équation \(f(x_1,x_2,...,x_p)\) est dimensionnellement homogène, elle peut être mise sous la forme :

\[F(\pi_1,\pi_2,...\pi_{p-q})=0\]

où les paramètres \(\pi_i\) sont des groupement adimensionnels indépendants des \(p\) variables initiales.

Méthode

  • Classer les variables de manière à faire apparaître les grandeurs fondamentales en premier, puis sélectionner parmi les variables un représentant pour chaque grandeur.

  • Pour toutes les variables non retenues, écrire le rapport de cette variable par le produit des représentants avec des exposants indéterminés :

\[\pi_i=\frac{x_i}{x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_q^{a_q}}\]

  • Faire le bilan dimensionnel pour obtenir les \(\pi_i\) adimensionnels

ConseilVérification

Ces résultats sont corrects, si :

  • il y a bien \(p-q\) nombres adimensionnels ;

  • ces nombres font intervenir toutes les variables ;

  • ils sont indépendants.

Exemple

On reprend l'exemple précédent :

\[[P_0]=M.L^{-1}.T^{-1} \\ [M]=M \\ [R]=L \\ [\rho]=M.L^{-3} \\ [\chi_L]=L.T.M^{-1} \\ [P]=M.L^{-1}.T^{-1}\]

On sélectionne les trois premières variables comme représentantes des grandeurs fondamentales et on écrit les rapports :

\[\pi_1=\frac{\rho}{P_0^{a_1}M^{a_2}R^{a_3}} \\ \pi_2=\frac{\chi_L}{P_0^{b_1}M^{b_2}R^{b_3}} \\ \pi_3=\frac{P}{P_0^{c_1}M^{c_2}R^{c_3}}\]

On calcule maintenant les exposant afin d'avoir des nombres adimensionnels :

\[\pi_1=\frac{\rho R^3}{M} \\ \pi_2=\chi_L P_0 \\ \pi_3=\frac{P}{P_0}\]

De même, on fait apparaître trois nombres adimensionnels.

On peut alors se poser la question : en test, 0,5kg de TNT ont provoqué une onde de choc d'intensité P à une distance R=2,5m du lieu de l'explosion ; de combien sera la distance pour une même intensité mais avec 500kg de TNT ?

Le deuxième nombre adimensionnel va rester constant, si M est multiplié par 1000, il faut donc compenser avec R qui est au cube, R est donc multiplié par 10, on ressent donc la même onde de choc à 25m.