Applications de l'équation de BERNOULLI [HYDRAULIQUE pour le génie des procédés]

Applications de l'équation de BERNOULLI

Voyons à présent quelques applications classiques de l'équation de BERNOULLI.

introduction aux applications de l'équation de Bernoulli

Formule de Torricelli

écoulement d'un liquide à travers un orifice percé en bas d'un réservoir | Informations^[2]

Il s'agit d'étudier l'écoulement d'un liquide à travers un orifice percé en bas d'un réservoir dont la paroi est mince (voir figure ci-contre).

Raisonnement : Démonstration du théorème de Torricelli

théorème de Torricelli

La vitesse d'écoulement à travers l'orifice est donc : $u = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$ .

Pour aller plus loinFacteur correctif

La contraction de la veine fluide nécessite l'utilisation d'un facteur correctif $\kappa$ pour le calcul du débit s'écoulant à travers l'orifice : ${{Q}_{v}}=\kappa \cdot S\cdot u$ , où $S$ est la section ouverte de l'orifice.

Généralement, $0,5 < \kappa < 0,7$ ; pour un orifice circulaire proprement percé (c'est-à-dire sans bavure ou déformation due au perçage) dans une paroi mince, $\kappa = 0,62$ .

Exemple : Illustration de la formule de Torricelli

photographie d'un tonneau percé en train de se vidanger | Informations^[4]

vidéo illustrant la variation de vitesse d'écoulement en fonction de la hauteur de liquide au-dessus de l'orifice

Exemple : Temps de vidange d'un réservoir

L'exercice qui suivra sur la vidange d'un réservoir permettra de mettre en application la formule de Torricelli.

Tube de Pitot

La sonde de Pitot (figure ci-contre) est un instrument de mesure de la vitesse d'un fluide.

schéma de principe d'une sonde de Pitot | Informations^[6]

Raisonnement : Démonstration de la formule pour le tube de Pitot

mesure de vitesse à l'aide d'un sonde de Pitot

La vitesse de l'écoulement $u$ mesurée à l'aide du tube de Pitot est donc reliée à la différence de hauteur $h$ dans le tube manométrique selon : $u = \sqrt{2 \cdot \left( \frac{\rho '}{\rho}-1 \right) \cdot g \cdot h}$ , $\rho '$ étant la masse volumique du liquide manométrique et $\rho$ celle du fluide dont on mesure la vitesse d'écoulement.

Débitmètre Venturi

Le débitmètre Venturi repose sur la mesure de différence de pression générée par un rétrécissement de conduite comme illustré sur la figure ci-contre.

Un exercice suivant fera l'objet de la démonstration de la relation entre la différence de hauteur $h$ dans le tube manométrique et le débit $Q_v$ :

$Q_v=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left( \frac{\rho '}{\rho }-1 \right)\cdot g\cdot h}{{{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}-1}}$

Expérience : Quelques exemples d'expériences mettant en œuvre l'effet Venturi

expériences avec l'effet Venturi