HYDRAULIQUE pour le génie des procédés

${{Q}_{v}}=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left( \frac{\rho '}{\rho }-1 \right)\cdot g\cdot h}{{{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}-1}}$

On écrit l'équation de BERNOULLI dans le tube Venturi entre les points 1 et 2 : ${{P}_{1}}+\rho \cdot g\cdot {{z}_{1}}+\frac{\rho \cdot {{u}_{1}}^{2}}{2}={{P}_{2}}+\rho \cdot g\cdot {{z}_{2}}+\frac{\rho \cdot {{u}_{2}}^{2}}{2}$

On écrit la conservation de la matière :${{Q}_{v1}}={{Q}_{v2}}$, soit $\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot {{u}_{1}}=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}\cdot {{u}_{2}}$, d'où ${{u}_{2}}={{u}_{1}}\cdot {{\left( \frac{D}{d} \right)}^{2}}$

Enfin on écrit le principe de la hydrostatique dans le tube manométrique : ${{P}_{1}}+\rho '\cdot g\cdot {{H}_{2}}+\rho \cdot g\cdot \left( h+{{H}_{1}} \right)={{P}_{2}}+\rho '\cdot g\cdot \left( {{H}_{2}}+h \right)+\rho \cdot g\cdot \left( {{H}_{1}}+h' \right)$, d'où ${{P}_{1}}={{P}_{2}}+\left( \rho '-\rho \right)\cdot g\cdot h+\rho \cdot g\cdot h'$

Or ${{u}_{1}}=u$ et ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}=h'$

Finalement, ${{P}_{2}}+\left( \rho '-\rho \right)\cdot g\cdot h+\rho \cdot g\cdot h'+\frac{\rho \cdot {{u}^{2}}}{2}={{P}_{2}}+\rho \cdot g\cdot h'+\frac{\rho \cdot {{u}^{2}}}{2}\cdot {{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}$

D'où $\left( \rho '-\rho \right)\cdot g\cdot h=\frac{\rho \cdot {{u}^{2}}}{2}\cdot \left[ {{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}-1 \right]$, soit $u=\sqrt{\frac{2\cdot \left( \frac{\rho '}{\rho }-1 \right)\cdot g\cdot h}{{{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}-1}}$.

Et ${{Q}_{v}}=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot \left( \frac{\rho '}{\rho }-1 \right)\cdot g\cdot h}{{{\left( \frac{D}{d} \right)}^{4}}-1}}$