Diverses formes de l'équation de BERNOULLI & conversion d'énergies [HYDRAULIQUE pour le génie des procédés]

Diverses formes de l'équation de BERNOULLI & conversion d'énergies

l'équation de Bernoulli sous toutes ses formes

Remarque : Énergie par unité de volume

Une pression n'est autre qu'une énergie par unité de volume.

L'équation de BERNOULLI fait apparaître trois formes d'énergie :

$P$ est l'énergie de pression proprement dite (par unité de volume) ;
$\rho \cdot g\cdot z$ est l'énergie potentielle (par unité de volume) ;
$\frac{\rho \cdot {{u}^{2}}}{2}$ est l'énergie cinétique (par unité de volume).

Notion fondamentale : Conversion des différentes formes d'énergie

On peut convertir chacune de ces formes d'énergie en une autre, comme le montre l'expérience des feuilles.

Le paradoxe aérodynamique

Ceci est également illustré sur le diagramme manométrique de la figure ci-contre, dans le cas de l'écoulement d'un fluide parfait dans une conduite dont l'altitude diminue et le diamètre augmente.

diagramme manométrique pour un fluide parfait | Informations^[3]

Méthode : L'équation de Bernoulli sous toutes ses formes

L'équation de Bernoulli peut être écrite :

en pression (énergie par unité de volume) : $P+\rho \cdot g\cdot z+\frac{\rho \cdot {{u}^{2}}}{2}=cste$ ;
en hauteur (énergie par unité de poids) : $\frac{P}{\rho \cdot g}+z+\frac{{{u}^{2}}}{2\cdot g}=cste$ ;
en charge (énergie par unité de masse) : $\frac{P}{\rho }+g\cdot z+\frac{{{u}^{2}}}{2}=cste$ .

Expérience : Les différentes pressions

On donne des noms particuliers à différents groupes d'énergie :

$P$ : pression statique^[4] ;
$\rho \cdot g\cdot z$ : pression hydrostatique^[5] ;
$\frac{\rho \cdot u^{2}}{2}$ : pression dynamique^[6] ;
$P+\rho \cdot g\cdot z$ : pression motrice (ou piézométrique)^[7] ;
$P+\rho \cdot g\cdot z+\frac{\rho \cdot u^{2}}{2}$ : pression totale^[8].

Attention : Il y a pression totale et pression totale !

Il ne faut pas confondre la pression totale au sens de la somme des pressions partielles de différentes espèces et la pression totale définie en hydrodynamique ou en hydraulique comme la somme des énergies (de pression, potentielle et cinétique) par unité de volume.

Notes

Marie DEBACQ |
Uniciel
Marie DEBACQ |
pression statique
C'est la pression vraie, issue de la force de pression.
pression hydrostatique
C'est le terme d'énergie potentielle par unité de volume ( $\rho \cdot g \cdot z$ ), qui a la dimension d'une pression, mais n'est pas la pression "vraie" (cette dernière étant appelée pression statique).
pression dynamique
C'est le terme d'énergie cinétique par unité de volume : $\frac{\rho \cdot u^2}{2}$ , qui a la dimension d'une pression, mais n'est pas la pression "vraie" (cette dernière étant appelée pression statique).
pression motrice
Somme de la pression statique et de la pression hydrostatique, ou encore somme de l'énergie de pression par unité de volume et de l'énergie potentielle par unité de volume : $P + \rho \cdot g \cdot z$ .
On l'appelle également pression piézométrique.
pression totale
Somme de la pression statique, de la pression hydrostatique et de la pression dynamique, ou encore somme de l'énergie de pression par unité de volume, de l'énergie potentielle par unité de volume et de l'énergie cinétique par unité de volume : $P + \rho \cdot g \cdot z + \frac{\rho \cdot u^2}{2}$ .
À ne pas confondre avec la pression totale au sens somme des pressions partielles des constituants d'un gaz.